4. Истечение газов и паров через сопловые каналы

Сопловой канал – устройство для увеличения кинетической энергии потока. В сопловых каналах скорости истечения газа или жидкости велики, а длина канала мала. В таких устройствах теплообмен с окружающей средой практически отсутствует, а процесс истечения считается адиабатным (q=0). Технической работы в сопловых каналах не производится l_Т=0. Первый закон термодинамики для обратимого адиабатного процесса истечения вещества в сопловом канале будет иметь вид

(4.1)

В выражении 4.1 индексом о будем обозначать параметры и скорость на входе в сопло, а индексом 1 – на выходе из сопла (рис.4.1).

Для упрощения анализа процесса истечения через сопловой канал в качестве рабочего тела первоначально примем идеальный газ с постоянными теплоемкостями с_Р, с_V и коэффициентом Пуассона к.

Из выражения 4.1 можно получить расчетную формулу для скорости на выходе из соплового канала:

(4.2)

При истечении через сопло идеального газа, состояние которого изменяется по адиабате с показателем к=const, т.е.
работа изменения давления в потоке при неизменных начальных параметрах газа (P_О, v_О) соответствует уравнению:

(4.3)

(4.4)

Для упрощения анализа процесса истечения газа через сопло примем входную скорость равной нулю (с_О=0). Начальные параметры газа на входе в сопло будем считать постоянными. Возьмем произвольное сечение соплового канала и проведем анализ процесса истечения при изменении давления в этом сечении от Р=Р_О до Р=0. Согласно выражения 4.4 скорость истечения в этом канале будет рассчитываться по формуле

(4.5)

Величину Р/Р_О, обозначим как e=Р/Р_О и назовем ее степенью изменения давления. Эта величина является определяющей в выражении 4.5, поскольку все остальные величины постоянные. Воспользуемся уравнением неразрывности потока для дальнейшего анализа в виде

(4.6)

Величина G/f – удельный массовый секундный расход газа через единицу площади поперечного сечения сопла. Эта величина позволяет провести анализ процесса истечения газа через сопло. Выразив удельный объём газа в данном сечении соплового канала из уравнения адиабаты:

(4.7)

(4.8)

Из выражения (4.8) следует, что при Р=Р_О и Р=0, удельный расход равняется нулю. В первом случае (Р=Р_О) работа изменения давления в потоке и скорость равны нулю, поэтому нет истечения и расход равен нулю; во втором случае (Р=0)удельный объём газа бесконечно велик (истечение в вакуум), а скорость истечения имеет конечное максимальное значение, соответствующее выражению:

(4.9)

Уравнение (4.8) выражает функциональную зависимость между удельным расходом газа и отношением Р/Р_О, которое обозначено через e. Представим зависимость G/f = F(e) графически на рис.4.2.

Эта функция непрерывна и положительна на интервале 0<e<1, при e=0 и e=1 она равна нулю, следовательно, на данном интервале она имеет максимум.

Значение аргумента e при максимуме данной функции назовём критическим отношением давлений – e_КР. Оно определяется как первая производная функции (4.8), приравненной к нулю. В результате такого дифференцирования получаем:

(4.10)

Величина e_КР зависит от показателя адиабаты, следовательно, для идеального газа с постоянными изобарными и изохорными теплоемкостями она постоянная (двухатомный газ к=1,4, e_КР = 0,528). Для реального газа она зависит от параметров состояния (перегретый водяной пар к ≈ 1,3, e_КР ≈ 0,546; для сухого насыщенного пара к ≈ 1,135, e_КР ≈ 0,577).

Подставив e_кр в выражение скорости истечения (4.5), получим расчетное выражение для критической скорости

(4.11)

Итак, при истечении газа через сопло с понижением давления от Р_О до Р_КР удельный расход газа G/f сначала возрастает, при Р_КР достигает максимума, а при дальнейшем понижении давления – уменьшается. Следовательно, при постоянстве массового расхода газа G=const, по всей длине соплового канала площадь сечения в диапазоне давлений от Р_О до Р_КР должна уменьшаться, а при давлениях ниже Р_КР площадь его сечения должна увеличиваться.

Для объяснения такой закономерности изменения площади поперечного сечения канала проведём математический анализ уравнения неразрывности Gv = fc. Продифференцировав его при G = const, получим соотношение

Поделив последнее на Gv=fc, получим зависимость изменения относительного объема газа при истечении его в сопловом канале

(4.12)

Из 4.12 выразим величину изменения относительной площади поперечного сечения соплового канала:

(4.13)

Из уравнения (4.13) следует, что канал суживается (df/f < 0) в случае большего относительного возрастания скорости газа по отношению к относительному возрастанию его удельного объёма (dc/c > dv/v). В случае, когда преобладает рост относительного удельного объёма газа по сравнению с относительным ростом его скорости (dv/v > dc/c) – канал расширяется (df/f > 0). При Р_КР меняется знак df, т.е. профиль канала переходит из суживающегося в расширяющийся. В самом узком сечении канала устанавливаются параметры, называющиеся критическими (Р_КР, v_КР, t_КР, c_КР).

Для установления зависимости между критической скоростью и параметрами газа в критическом сечении сопла выразим dv/v из уравнения адиабаты Рv^k = const, продифференцировав его и поделив на постоянную Рv^К получим,

(4.14)

Величину dc/c выразим из уравнения работы изменения давления в потоке для обратимого процесса в сопловом канале

(4.15)

(4.16)

Поскольку при истечении через сопловый канал давление уменьшается (dР < 0), то канал будет суживаться (df < 0) при , и наоборот канал расширяется (df>0) при . В самом узком сечении канала (df = 0) устанавливается критическая скорость, определяемая выражением:

(4.17)

Из физики известно, что выражение (4.17) определяет скорость распространения звука в газовой среде при данных термических параметрах, обозначим её буквой α. При адиабатном истечении газа температура газа уменьшается по длине канала в направлении движения потока, следовательно, уменьшается и его скорость звука, а скорость истечения газа растёт. В суживающейся части сопла с<α. В минимальном сечении канала скорость звука газа равна его скорости истечения с_КР=α_КР. В расширяющейся части сопла скорость истечения газа больше скорости звука (с>α).

На рис. 4.3 представлена графическая зависимость изменения v, c, α, f при адиабатном расширении идеального газа в сопловом канале от неизменных начальных параметров, нулевой начальной скорости и изменении давления за соплом от Р=Р_О до Р=0.

При начальном давлении Р_О и удельном объёме газа v_О начальная скорость его c_О равна нулю (так приняли), при этом площадь сечения канала бесконечно велика (f_О=Gv_О/0=∞). В начале процесса расширения при Р_КР<Р<Р_О относительное возрастание скорости больше относительного возрастания объёма (функция c=F(Р) более пологая, чем – v=F(Р), площадь сечения соплового канала уменьшается. При давлениях ниже критического Р<Р_КР, наоборот, больше относительный рост объёма по сравнению с относительным возрастанием скорости (функция v=F(Р) более пологая, чем – c=F(Р)) и площадь сечения канала увеличивается. При давлении Р=Р_КР скорость истечения равна скорости звука, здесь канал имеет минимальное сечение. Таким образом, только при наличии расширяющейся части в сопловом канале можно получить понижение давления ниже критического, а скорость истечения больше скорости звука. При Р=0 удельный объем газа стремится к бесконечности (v=∞), скорость истечения достигает максимального конечного значения с_MAX (см. уравн. 4.9), а площадь поперечного сечения сопла (f=Gv/c_MAX) стремиться к бесконечности.

В результате проведенного анализа адиабатного процесса истечения идеального газа можно сделать выводы о выборе профиля соплового канала:

если e<e_КР (Р₁<Р_КР) – сопло должно быть комбинированным (сопло Лаваля) с расширяющейся частью, истечение газа сверхкритическое (скорость газа на выходе из сопла больше скорости звука).

При существующем сопловом канале, если сопло суживающееся:

при e>e_КР – истечение докритическое;

при e<e_КР – истечение критическое, расширение газа в сопловом канале идёт только до критического давления (Р=Р_КР), дальнейшее расширение газа от Р_КР до давления за соплом Р₁ идёт за пределами выходного сечения соплового канала (рис.4.4 процесс 12).

Важно отметить, что для суживающегося или комбинированного сопла, при давлении за ним ниже критического (e<e_КР), в самом узком сечении сопла устанавливаются критические параметры, и дальнейшее понижение давления за соплом при постоянных начальных параметрах Р_О=const и Т_О=const не влияет на массовый расход газа. При этих условиях расход газа через сопло ограничивается пропускной способностью его самого узкого сечения (рис.4.4 процессы 12 и 1*2*):

(4.18)

Увеличить расход газа через сопло можно только за счёт увеличения минимального сечения сопла, в этом случае критическая скорость и удельный объем в минимальном сечении останутся неизменными, или за счёт повышения давления газа перед соплом, в этом случае критическая скорость может остаться прежней, для идеального газа:

Зависимость расхода газа от давления перед сопловым каналом при неизменном значении температуры на входе в сопло показана на рис. 4.5.